Limitná hodnota (limety)

Získajte neobmedzený prístup k našim učebným materiálom pre vaše štúdium Wiwi.

Naším cieľom je pripraviť vás na skúšky optimálne. Objavte teraz StudybeesPlus:

Všetky základné predmety pre vaše obchodné štúdium
Neobmedzený prístup o učení sa skrípt, písomných skúšok, online kurzov
Havarijné kurzy na mieste pre Špeciálna cena

Zabezpečte si neobmedzený prístup k našim učebným materiálom pre vaše štúdium Wiwi.

Naším cieľom je pripraviť vás na skúšky optimálne. Objavte teraz StudybeesPlus:

Všetky základné predmety pre vaše obchodné štúdium
Neobmedzený prístup o učení sa skrípt, písomných skúšok, online kurzov
Havarijné kurzy na mieste pre Špeciálna cena

A limit označuje, ako sa funkcie správajú, keď sa blížia k istej hodnote „x“. Toto limit sa tiež nazýva limetky.

Vyšetrovanie limetky je zaujímavé pre funkcie so skokmi alebo medzerami v definíciách. Používa sa tiež na štúdium správania funkcie v nekonečnu.

Výpočet limitnej hodnoty je formálne vyjadrený takto:

`\ lim_ (x pravý šíp a) f (x) = A`,

hovoril: „The limetky pre `x` proti` a` z `f (x)` sa rovná `A`.“

Medzná hodnota pri skokoch funkcií a medzerách definícií

Funkčné skoky a Definičné medzery možno sa priblížiť zľava alebo sprava, pričom Limitné hodnoty každý je iný. Funkčný skok nastane, keď sa vo funkčnom pravidle rozlišuje prípad. Naznačuje to množinová notácia, ktorá môže vyzerať napríklad takto: \ beginf (x) = \ left (\ begin \ dots \ for \ x \ leq \ \ dots \\\ dots \ for \ x> \ \ dots \\ \ end \ right) \ end Nasledujúci obrázok zobrazuje zápis znaku limetky o Funkčné skoky objasnené:

V bode „a“ je hodnota funkcie „A“ (je to označené vyplneným obdobím). Ak sa však priblížite k tejto funkcii skokom zľava, limitná hodnota je `B`.

Takže ak chcete vypočítať limitnú hodnotu funkcie pri funkčnom skoku zľava, napíšete:

`\ lim_ (x pravý šíp a ^ -) f (x) = B`

Ak sa priblížite k funkčnému skoku sprava, použijete nasledujúci zápis:

`\ lim_ (x pravý šíp a ^ +) f (x) = A`

Na medzery v definícii sa dá zamerať aj zľava a sprava. Pravopis zostáva rovnaký a v zásade postupujete rovnako ako pri skokoch funkcií:

Aproximácia zľava: `\ lim_ (x pravý šíp a ^ -) f (x)`

Aproximácia sprava: `\ lim_ (x pravý šíp a ^ +) f (x)`

Ak by Limitné hodnoty o Funkčné skoky alebo Definičné medzery sú špecifikované, je vhodné vložiť do funkčnej rovnice minimálne menšiu a minimálne väčšiu hodnotu, aby sa určila príslušná medzná hodnota. Napríklad ak je bod `a = 5`, potom by sa dalo použiť limit prichádzajúce zľava `4,999999999` a pre limit Ak prichádzate sprava, vložte `5.000000001`. Presnejšia metóda výpočtu Limitné hodnoty by fungovalo prostredníctvom zodpovedajúcej sekvencie, ktorá konverguje k nule, napríklad sekvencie `\ frac (1) (n)`. To by potom bolo vložené do funkcie spolu s `a` a pustené smerom k nule (tu spustením` n rightarrowinfty`):

"\ lim_ (x rightarrow a ^ -) f (x) = \ lim_ (n rightarrowinfty) f (a- \ frac (1) (n))" alebo.
"\ lim_ (x rightarrow a ^ +) f (x) = \ lim_ (n rightarrowinfty) f (a + \ frac (1) (n))"

Takže nakoniec získate ten, ktorý hľadáte limit funkcia v bode „a“ pochádzajúca zľava alebo sprava.

Limit na nekonečno

Správanie v nekonečne je o vývoji grafu na ľavom a pravom okraji. Takže funkčná hodnota `f (x) = x ^ 3` pre` x rightarrow + infty` ide na` + infty` a pre `x rightarrow -infty` na` -infty`. Graf môže tiež konvergovať k číslu v nekonečnu. Napríklad graf beží od `f (x) = \ frac (1) (x)` pre `x pravý šíp + infty` proti` 0` (pochádzajúci zhora) a pre` x pravý šíp -infty` proti` 0` ( prichádzajúce zdola).

Na objasnenie limitnej hodnoty v nekonečnu je užitočné použiť sprievodcu grafikou. Napríklad nasledujúci graf sa usiluje o hodnotu `x rightarrow - \ infty` smerom k` B` a pre` x \ rightarrow \ infty` sa blíži k `A`:

Poznámka pre uvažované limitné hodnoty je podobná ako pre skoky funkcií a medzery v definíciách. The limit grafu pri kladnom nekonečne je znázornená takto:

Ak preskúmate graf v nekonečnom mínuse, napíšete:

Postup výpočtu Limitné hodnoty pre `x \ rightarrow \ pm \ infty` existujú rôzne pravidlá v závislosti od typu funkcie. V nasledujúcom texte sa rozlišuje medzi funkciami, ktoré pozostávajú iba z polynómov, Polynómy a zmiešajte výrazy s `e ^ (g (x))` a funkcie, ktoré sú zlomkové racionálne.

Limity funkcií, ktoré pozostávajú iba z polynómov

Nasledujúci text vysvetľuje, ako sa počíta hraničná hodnota funkcie, keď sa funkcia skladá iba z polynómov. Polynóm je funkcia, v ktorej sa sčítajú alebo odčítajú iba výrazy v tvare `a_ix ^ i`, napríklad nasledujúca funkcia:

Ak funkcia obsahuje iba polynómy, je potrebné najskôr určiť znak x s najvyšším exponentom. Ak necháte znak `x` ísť proti` + \ infty` alebo` - \ infty`, potom ostatné komponenty funkcie nikdy nemôžu byť také veľké ako tento výraz. Preto stačí brať do úvahy iba výraz, v ktorom znak `x` s najvyšším exponentom. Namiesto napr.

`\ lim_ (x pravá šípka + infty) f (x) = \ lim_ (x pravá šípka + infty) 4x ^ 3-2x ^ 2 + x + 7`

tak sa človek iba pozrie na

Funkcia `f (x) = 4x ^ 3-2x ^ 2 + x + 7` beží v pozitívnom nekonečnom rozsahu do pozitívneho nekonečna.
Presne takto sa dá funkcia zobraziť v negatívnej oblasti:

`\ lim_ (x pravá šípka-infty) f (x) = \ lim_ (x pravá šípka-infty) 4x ^ 3-2x ^ 2 + x + 7 = \ lim_ (x pravá šípka-infty) 4x ^ 3 = -infty`

V zápornom nekonečne sa funkcia dostane do záporného nekonečna.

Limity funkcií, ktoré kombinujú polynómy a `e ^ (g (x))`

Ak má funkcia okrem polynómov aj funkciu `e`, ktorý sa sčíta alebo odčíta (napr. `f (x) = 3x ^ 2-x ^ 3 + e ^ (x-3))`, je najlepšie rozdeliť funkciu na dve časti: Polynómy tvoria prvú časť, funkcia `e` tvorí druhú časť. Teraz sa môžete pozrieť na obe časti zvlášť a potom spojiť výsledky. Keďže funkcia „e“ Je to dôležitejšie, pretože sa vyvíja rýchlejšie ako akýkoľvek polynóm. Toto je ilustrované nižšie. Napríklad, ak vezmete do úvahy limit vyššie uvedenej funkcie proti `\ infty`:

"\ lim_ (x pravá šípka + infty) f (x) = 3x ^ 2-x ^ 3 + e ^ (x-3)"

Prvá časť funkcie (`3x ^ 2-x ^ 3`) je polynóm, kde` -x ^ 3` je výraz s najvyššou mocou. Preto porovnávame vývoj `-x ^ 3` s vývojom` e ^ (x-3) `. Ak za x zadáte menšie číslo ako „2“, má výraz „-x ^ 3` väčšiu váhu ako` e ^ (x-3)`, pretože` (-2) ^ 3 = -8` a `e ^ (2-3) \ približne 0,37`. Pretože však hľadáme limit pre hodnotu „x \ rightarrow \ infty`, musíme sa pozrieť na väčšie hodnoty x. Napríklad pre `x = 20` by` -x ^ 3` bolo `(-20) ^ 3 = -8000` a` e ^ (x-3)` by bolo` e ^ (20-3) = 24 154 952, 75`. Napríklad, ak sa pozriete na `x = 200`, výraz` -x ^ 3` je` -8 000 000`, zatiaľ čo výraz `e ^ (x-3)` jasne prevažuje, pretože` e ^ (200 -3) \ približne 3,6 * 10 ^ 85`. Pretože funkcia `e` sa vyvinie oveľa rýchlejšie do pozitívneho nekonečna ako polynom do záporného nekonečna, v tomto prípade určuje celú medznú hodnotu funkcie:

`\ lim_ (x pravý šíp + infty) f (x) = 3x ^ 2-x ^ 3 + e ^ (x-3) = + \ infty`

Dá sa teda všeobecne povedať nasledovné: Ak existuje funkcia, v ktorej sú prítomné polynómy aj členy tvaru `e ^ (g (x))` a sú spojené znakom `+` alebo `--`, limitná hodnota sa určí takto:

Ak sú polynómy a funkcia `e` pripojený produktom (napr. `f (x) = (x ^ 4-x ^ 3) \ cdot (-e ^ (2x))` sa postup zmení. Explicitné oddelenie potom už nie je možné. limit funkciu `e` a polynóm oddelene od seba a potom ich vynásobte. Limitnú hodnotu funkcie, v ktorej sa násobia polynómy a člen tvaru `e ^ (g (x))`, možno určiť pomocou nasledujúcej tabuľky:

Tento postup by sa mal ilustrovať aj na príklade. Limitná hodnota by sa mala určiť proti znaku „+ \ infty“ nasledujúcej funkcie:

Funkcia pozostáva z polynómu (`x ^ 4-x ^ 3)` a výrazu `e ^ (g (x))`, menovite `e ^ (2x)`. Tieto dve časti sa znásobia. Vieme teda, ako určiť medznú hodnotu samostatne a potom určiť medznú hodnotu funkcie pomocou tabuľky vyššie.

Prvá časť: `x ^ 4-x ^ 3 vpravo šípka` pre limetky relevantný iba najvyšší exponent:

`\ lim_ (x pravá šípka + infty) (x ^ 4-x ^ 3) = \ lim_ (x pravá šípka + infty) x ^ 4 = infty ^ 4 = + infty`.

Druhá časť: `-e ^ (2x)`

Pretože `- \ cdot + = -` je výsledkom, keď dáte tieto dve časti dohromady, celá funkcia pre` x rightarrowinfty` sa spustí do záporného nekonečna:

`\ lim_ (x pravá šípka + infty) f (x) = \ lim_ (x pravá šípka + infty) (x ^ 4-x ^ 3) \ cdot (-e ^ (2x)) = - infty`

Limity zlomkových racionálnych funkcií

Postupom uvedeným vyššie môžete Limitné hodnoty všeobecne dobre vypočítané. Stáva sa to však komplikovanejším, keď je funkcia prítomná ako zlomok. V prípade zlomkov je užitočné vydeliť jednotlivé súčty vo zlomku znakom `x` s najvyšším exponentom (to zodpovedá rozšíreniu zlomku o obrátený zlomok znaku` x` s najvyšším exponentom). Tieto sa potom dajú prehliadnuť a zostaviť jednotlivo. Toto by sa malo ilustrovať na príklade nasledujúcej funkcie:

"\ lim_ (x pravá šípka + infty) f (x) = \ lim_ (x pravá šípka + infty) \ frac (x ^ 3 + x) (x ^ 4-5) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ | * frac (1) (x ^ 4) `

Ak pri výpočte medznej hodnoty zlomkových racionálnych funkcií narazíte na neurčité výrazy `\ frac (0) (0)` alebo `\ frac (\ pminfty) (\ pminfty)`, musíte sa pozrieť na Pravidlo spoločnosti L’Hospital kde čitateľ a menovateľ zlomku sú odvodené osobitne od seba navzájom. Tento nový výraz sa potom stáva limit vzdelaný. Ako to presne funguje, si môžete prečítať v kapitole Pravidlo od L'Hospital.

Studybees Plus - vzdelávacia platforma pre vaše štúdium. Prispôsobené vašej prednáške.

Kompaktný Učenie skriptov, prispôsobené vašej prednáške
Online rýchlokurzy od najlepších lektorov
Interaktívne úlohy pre váš optimálny úspech v učení

Zabezpečte si neobmedzený prístup k našim učebným materiálom pre vaše štúdium Wiwi.

Naším cieľom je pripraviť vás na skúšky optimálne. Objavte teraz StudybeesPlus:

Všetky základné predmety pre vaše obchodné štúdium
Neobmedzený prístup o učení sa skrípt, písomných skúšok, online kurzov
Havarijné kurzy na mieste pre Špeciálna cena